Teksvideo. Pada soal ini didapat pertanyaan sebagai berikut selisih dua bilangan adalah 8. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang minimum Tentukan kedua bilangan tersebut maka pertama kita misalkan kedua bilangan sebagai X dan Y lalu pernyataan yang diberikan pada soal adalah selisih dua bilangan adalah 8 yang berarti X min y = 8 dan kita dapat diubah bentuknya menjadi Y nya Dalam tulisan ini, kita akan mengulas mengenai KPK dan FPB, mulai dari definisi, cara menghitung, sampai dengan contoh soal. Sebelum masuk pada pembahasan, mari perhatikan daftar isi IsiFaktor Persekutuan TerbesarApa itu FPB?Cara Menentukan FPBContoh Perhitungan FPBKelipatan Persekutuan TerkecilApa itu KPK?Cara Menentukan KPKContoh Perhitungan KPKAlgoritma EuclidIde di Balik Algoritma EuclidMenghitung FPB dengan Algoritma EuclidContoh Penggunaan Algoritma EuclidHubungan Antara FPB dan KPKFPB dan KPK dari Tiga BilanganFaktor Persekutuan TerbesarApa Itu FPB?FPB dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terbesar yang habis membagi keduanya. Hal ini sesuai dengan kepanjangan dari FPB, yaitu Faktor Persekutuan bilangan bulat mempunyai faktor. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat, dengan $y \neq 0$. Bilangan $y$ disebut faktor dari $x$, jika dan hanya jika $x$ habis dibagi $y$. Dengan kata lain, terdapat bilangan bulat $z$ sedemikian sehingga $x=yz$.Sebagai contoh, $-2$ dan $3$ adalah faktor dari $6$. Namun, $3$ bukan faktor dari $7$. Karena $7$ bersisa $1$ jika dibagi $3$ $7$ tidak habis dibagi $3$.Dalam konteks FPB, faktor-faktor negatif diabaikan. Ini dikarenakan, faktor negatif tidak mungkin jadi yang bulat $12$ dan $18$ memiliki sejumlah faktor. Jika $X$ menyatakan himpunan faktor dari $12$ dan $Y$ himpunan faktor dari $18$, maka$$\begin{aligned}X &= \{ 1,2,3,4,6,12 \} \\Y &= \{ 1,2,3,6,9,18 \}\end{aligned}$$Ternyata, $12$ dan $18$ memiliki sejumlah faktor yang sama, yaitu $1$, $2$, $3$, dan $6$. Nah, bilangan-bilangan ini disebut Faktor Persekutuan dari $12$ dan $18$. Dalam bentuk himpunan,$$X \cap Y = \{ 1,2,3,6 \}$$Di antara faktor-faktor persekutuan ini, ada sebuah faktor dengan nilai terbesar, yaitu $6$. Nah, $6$ ini disebut Faktor Persekutuan Terbesar FPB dari $12$ dan $18$. Dengan kata lain, FPB adalah anggota $X \cap Y$ dengan nilai dari $a$ dan $b$ dinotasikan sebagai $\text{fpb}a,b$ atau $a,b$. Dalam tulisan ini, kita menggunakan notasi kedua. Perlu diingat bahwa penulisan $a,b$ sama saja dengan $b,a$. Jadi, tidak perlu terpaku pada urutan FPBFPB dari bilangan bulat $a$ dan $b$ adalah bilangan asli terbesar yang habis membagi $a$ dan $b$.Jika $a$ dan $b$ adalah $0$, maka $a,b$ tidak ada. Karena setiap bilangan asli membagi $0$, sedangkan bilangan asli terbesar itu tidak jika salah satunya saja yang bernilai $0$, maka $a,0=a$. Penjelasannya cukup sederhana. Faktor terbesar dari $a$ adalah dirinya sendiri. Di pihak lain, $a$ juga faktor dari $0$. Akibatnya, $a$ adalah faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $0$.Ada banyak sifat terkait FPB. Berikut salah satu sifat yang penting untuk 1Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, yang tidak keduanya nol, maka$$a,b=a,b$$Sifat 1 memungkinkan penggunaan Faktorisasi Prima dalam menghitung Menentukan FPBAda beberapa cara menentukan FPB. Salah satunya, dengan menggunakan faktorisasi prima..Berdasarkan Teorema Fundamental Aritmatika, setiap bilangan asli lebih dari $1$ merupakan bilangan prima atau dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan contoh, $5$ adalah bilangan prima. Di pihak lain, $6$ bukan bilangan prima, tetapi $6$ dapat ditulis sebagai hasil kali dua bilangan prima, yaitu $2 \cdot 3$.Penulisan bilangan bulat $a$ sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima disebut faktorisasi prima dari $a$.Berikut adalah prosedur menentukan FPB dengan faktorisasi faktorisasi prima dari setiap bilangan. Faktorisasi prima yang dimaksud adalah $x_1^{p_1}x_2^{p_2} \cdots x_n^{p_n}$, di mana $x_1,x_2,\ldots,x_n$ adalah bilangan prima berbeda dan $p_1,p_2,\ldots,p_n$ adalah bilangan faktor-faktor prima yang sama. Untuk saat ini, abaikan setiap faktor prima yang sama, bandingkan pangkatnya. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih faktor-faktor tersebut untuk memperoleh lebih mudah dimengerti, mari membahas beberapa contoh Perhitungan FPBContoh 1FPB dari 36 dan 120 adalah ...Pertama, tuliskan faktorisasi prima kedua bilangan ini.$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\120 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 5\end{aligned}$$Lalu, tandai faktor-faktor prima yang sama., yaitu $2$ dan $3$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{blue}{2}^2 \cdot \textcolor{green}{3}^2 \\120 &= \textcolor{blue}{2}^3 \cdot \textcolor{green}{3} \cdot 5\end{aligned}$$Bandingkan pangkat dari $\textcolor{blue}{2}^2$ dan $\textcolor{blue}{2}^3$. Karena $2 < 3$, maka kita pilih $\textcolor{blue}{2}^2$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{red}{2^2} \cdot \textcolor{green}{3}^2 \\120 &= 2^3 \cdot \textcolor{green}{3} \cdot 5\end{aligned}$$Berikutnya, bandingkan pangkat dari $\textcolor{green}{3}^2$ dan $\textcolor{green}{3}$. Karena $1 < 2$, maka kita pilih $\textcolor{green}{3}$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{red}{2^2} \cdot 3^2 \\120 &= 2^3 \cdot \textcolor{red}{3} \cdot 5\end{aligned}$$Dengan demikian, FPB dari $36$ dan $120$ adalah $2^2 \cdot 3=12$.Contoh 2FPB dari 24 dan 36 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}24 &= 2^3 \cdot 3 \\36 &= 2^2 \cdot 3^2\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2^2$ dan $3$. Jadi, FPB dari $24$ dan $36$ adalah $2^2 \cdot 3=12$.Contoh 3FPB dari 36 dan 42 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2$ dan $3$. Jadi, FPB dari $36$ dan $42$ adalah $2\cdot 3=6$.Contoh 4FPB dari 15, 45, dan 75 adalah ...Faktorisasi prima ketiga bilangan ini adalah$$\begin{aligned}15 &= 3 \cdot 5 \\45 &= 3^2 \cdot 5 \\75 &= 3 \cdot 5^2\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $3$ dan $5$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $3$ dan $5$. Jadi, FPB dari $15$, $45$, dan $75$ adalah $3\cdot 5=15$.Contoh 5FPB dari 28, 84, dan 96 adalah ...Faktorisasi prima ketiga bilangan ini adalah$$\begin{aligned}28 &= 2^2 \cdot 7 \\84 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\96 &= 2^5 \cdot 3\end{aligned}$$Hanya ada satu faktor prima yang sama, yaitu $2$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2^2$. Jadi, FPB dari $28$, $84$, dan $96$ adalah $2^2=4$.Kelipatan Persekutuan TerkecilApa itu KPK?KPK dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi a dan b. Hal ini sesuai dengan kepanjangan dari KPK, yaitu Kelipatan Persekutuan kelipatan berkaitan erat dengan faktor. Jika $x$ adalah faktor dari $y$, maka $y$ adalah kelipatan dari $x$.Sebagai contoh, $-4$ dan $6$ adalah kelipatan dari $2$. Namun, $9$ bukan kelipatan dari $2$. Karena $2$ bukan faktor dari $9$.Dalam konteks KPK, yang diperhatikan hanya kelipatan yang bernilai positif. Kelipatan negatif diabaikan, karena menyebabkan tidak adanya kelipatan terkecil. Kelipatan nol juga diabaikan. Mengapa?Bilangan bulat $8$ dan $12$ memiliki tak berhingga kelipatan. Jika $X$ menyatakan himpunan kelipatan dari $8$ dan $Y$ himpunan kelipatan dari $12$, maka$$\begin{aligned}X &= \{ 8,16,24,32,40,48,\ldots \} \\Y &= \{ 12,24,36,48,60,\ldots \}\end{aligned}$$Ternyata, $8$ dan $12$ memiliki kelipatan yang sama, yaitu $24$, $48$, dan seterusnya. Nah, bilangan-bilangan ini disebut Kelipatan Persekutuan dari $12$ dan $18$. Dalam bentuk himpunan,$$X \cap Y = \{ 24,48,\ldots \}$$Di antara kelipatan persekutuan ini, ada sebuah kelipatan dengan nilai terkecil, yaitu $24$. Nah, $24$ ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil KPK dari $8$ dan $12$. Dengan kata lain, KPK adalah anggota $X \cap Y$ dengan nilai dari $a$ dan $b$ dinotasikan sebagai $\text{kpk}a,b$ atau $[a,b]$. Dalam tulisan ini, kita menggunakan notasi kedua. Perlu diingat bahwa penulisan $[a,b]$ sama saja dengan $[b,a]$.Definisi KPKKPK dari bilangan bulat tak nol $a$ dan $b$ adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi $a$ dan $b$.Sebagaimana FPB, Sifat berikut juga berlaku pada 2Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat tak nol, maka$$[a,b]=[a,b]$$Cara Menentukan KPKAda beberapa cara menentukan KPK. Salah satunya, dengan memanfaatkan faktorisasi adalah prosedur menentukan KPK dengan faktorisasi faktorisasi prima dari setiap bilangan. Faktorisasi prima yang dimaksud adalah $x_1^{p_1}x_2^{p_2} \cdots x_n^{p_n}$, di mana $x_1,x_2,\ldots,x_n$ adalah bilangan prima berbeda dan $p_1,p_2,\ldots,p_n$ adalah bilangan faktor-faktor prima yang dimiliki oleh sedikitnya dua bilangan. Untuk saat ini, abaikan setiap faktor prima yang sama, bandingkan pangkatnya. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih faktor-faktor yang hanya dimiliki oleh satu faktor-faktor tersebut untuk memperoleh lebih mudah dimengerti, mari membahas beberapa contoh Perhitungan KPKContoh 6KPK dari 63 dan 75 adalah ...Pertama, tuliskan faktorisasi prima kedua bilangan ini.$$\begin{aligned}63 &= 3^2 \cdot 7 \\75 &= 3 \cdot 5^2\end{aligned}$$Lalu, tandai faktor-faktor prima yang sama.$$\begin{aligned}63 &= \textcolor{blue}{3}^2 \cdot 7 \\75 &= \textcolor{blue}{3} \cdot 5^2\end{aligned}$$Ada satu faktor prima yang sama. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih besar. Antara $3^2$ dan $3$, kita pilih $3^2$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$ dan $7^2$.Kalikan faktor-faktor ini, sehingga diperoleh$$3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 1575$$sebagai KPK dari $63$ dan $75$.Contoh 7KPK dari 18 dan 24 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}18 &= 2 \cdot 3^2 \\24 &= 2^3 \cdot 3\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^3$ dan $3^2$. Selain itu, tidak ada faktor prima yang hanya dimiliki oleh satu bilangan. Jadi, KPK dari $18$ dan $24$ adalah $2^3\cdot 3^2=72$.Contoh 8KPK dari 54 dan 60 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}54 &= 2 \cdot 3^3 \\60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^2$ dan $3^3$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$. Jadi, KPK dari $54$ dan $60$ adalah $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5=540$.Contoh 9KPK dari 36, 40, dan 42 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\40 &= 2^3 \cdot 5 \\42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^3$ dan $3^2$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$ dan $7$. Jadi, KPK dari $36$, $40$, dan $42$ adalah $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7=2520$.Contoh 10KPK dari 60, 75, dan 125 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \\75 &= 3 \cdot 5^2 \\125 &= 5^3\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $3$ dan $5$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $3$ dan $5^3$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $2^2$. Jadi, KPK dari $60$, $75$, dan $125$ adalah $3 \cdot 5^3 \cdot 2^2=1500$.Algoritma EuclidPenggunaan faktorisasi prima untuk menghitung FPB seringkali tidak efisien. Terkadang faktorisasi prima dari suatu bilangan sulit untuk dicari. Cara yang lebih efisien adalah menggunakan Algoritma dibalik Algoritma EuclidSebelum membahas mengenai Algoritma Euclid, mari membahas teorema yang mendasari algoritma 3Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli. Jika$$a=qb+r, \quad q,r \in \mathbb{Z} \text{ dan } 0 \leq r < b$$maka $a,b=b,r$.Bukti. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi$$a=qb+r, \quad q,r \in \mathbb{Z} \text{ dan } 0 \leq r < b$$Misalkan pula $K$ adalah himpunan faktor persekutuan dari $b$ dan $r$ serta $M$ adalah himpunan faktor persekutuan dari $a$ dan $b$.Untuk membuktikan $a,b=b,r$, cukup ditunjukkan bahwa $K=M$.Pertama, perlu ditunjukkan $M \subseteq K$. Untuk itu, diambil sebarang $m \in M$. Artinya, $m$ adalah faktor dari $a$ dan $b$. Terdapat bilangan bulat $c_1$ dan $c_2$ sedemikian sehingga$$a=c_1m \quad \text{dan} \quad b=c_2m$$Substitusi nilai $a$ dan $b$ pada $a=qb+r$, sehingga$$c_1m = qc_2m+r \quad \implies \quad r=mc_1-qc_2$$Perhatikan bahwa $c_1-qc_2$ adalah bilangan bulat, sehingga $m$ adalah faktor dari $r$. Karena $m$ faktor dari $b$ dan $r$, maka $m \in K$. Dengan demikian, $M \subseteq K$.Berikutnya, perlu ditunjukkan $K \subseteq M$. Untuk itu, diambil sebarang $k \in K$. Artinya, $k$ adalah faktor dari $b$ dan $r$. Terdapat bilangan bulat $d_1$ dan $d_2$ sedemikian sehingga$$b=d_1k \quad \text{dan} \quad r=d_2k$$Substitusi nilai $b$ dan $r$ pada $a=qb+r$, sehingga$$a = qd_1k+d_2k \quad \implies \quad a=kqd_1+d_2$$Perhatikan bahwa $qd_1+d_2$ adalah bilangan bulat, sehingga $k$ adalah faktor dari $a$. Karena $k$ faktor dari $a$ dan $b$, maka $k \in M$. Dengan demikian, $K \subseteq M$.Berdasarkan $M \subseteq K$ dan $K \subseteq M$, dapat disimpulkan $K=M$. Akibatnya, $a,b=b,r$. ini memudahkan perhitungan FPB. Sebagai contoh, untuk menentukan $1028,36$, kita bisa menghitung $36,20$, karena$$1028 = 28 \times 36 + 20$$Menghitung $36,20$ tentu lebih mudah daripada menghitung $1028,36$.Menghitung FPB dengan Algoritma EuclidAlgoritma Euclid adalah prosedur menghitung FPB dari dua bilangan, melalui penerapan Sifat 3 secara berulang-ulang. Agar lebih jelas, mari menghitung $3481,3599$.Pilih bilangan yang lebih besar $3599$, lalu bagi dengan bilangan yang lebih kecil $3481$. Diperoleh hasil bagi $1$ dengan sisa $118$, artinya$$3599 = 1 \times 3481 + 118$$Berdasarkan Sifat 3, diperoleh$$3599,3481=3481,118 \tag{1}$$Lalu, bagi $3481$ dengan $118$. Diperoleh hasil bagi 29 dengan sisa 59, artinya$$3481 = 29 \times 118 + 59$$Berdasarkan Sifat 3, diperoleh$$3481,118=118,59 \tag{2}$$Berikutnya, bagi $118$ dengan $59$. Ternyata, 118 habis dibagi 59. Dengan kata lain,$$118 = 2 \times 59 + 0$$Akibatnya$$118,59=59 \tag{3}$$Berdasarkan $1$, $2$, dan $3$ diperoleh$$3599,3481 = 3481,118 = 118,59 = 59$$Jadi, $3599,3481=59$. Nah, prosedur yang telah dilakukan disebut Algoritma di atas, bisa lebih ringkas jika ditulis sebagai$$\begin{aligned}3599 &= 1 \times \textcolor{blue}{3481} + \textcolor{green}{118} \\\textcolor{blue}{3481} &= 29 \times \textcolor{green}{118} + \textcolor{red}{59} \\\textcolor{green}{118} &= 2 \times \textcolor{red}{59} + 0\end{aligned}$$Prosedur dihentikan setelah sisaan $0$ diperoleh. FPB dari $3599$ dan $3481$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $59$.Algoritma EuclidMisalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif. Jika$$\begin{aligned}a &= q_1b+r_1, \quad &&0 \leq r_1 < b \\b &= q_2r_1+r_2, &&0 \leq r_2 < r_1 \\r_1 &= q_3r_2+r_3, &&0 \leq r_3 < r_2 \\& \; \; \vdots \\r_{n-2} &= q_nr_{n-1}+r_n, \quad &&0 \leq r_n < r_{n-1} \\r_{n-1} &= q_{n+1}r_n+0\end{aligned}$$maka FPB dari $a$ dan $b$ adalah sisaan tak nol terakhir pada prosedur di atas, yaitu $r_n$.Contoh Penggunaan Algoritma EuclidAgar lebih paham, mari berlatih menentukan FPB menggunakan Algoritma 11Tentukan FPB dari 24 dan 36 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}36 &= 1 \times \textcolor{blue}{24} + \textcolor{green}{12} \\\textcolor{blue}{24} &= 2 \times \textcolor{green}{12} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $24$ dan $36$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $12$.Contoh 12Tentukan FPB dari 72 dan 90 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}90 &= 1 \times \textcolor{blue}{72} + \textcolor{green}{18} \\\textcolor{blue}{72} &= 4 \times \textcolor{green}{18} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $72$ dan $90$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $18$.Contoh 13Tentukan FPB dari 36 dan 128 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}128 &= 3 \times \textcolor{blue}{36} + \textcolor{green}{20} \\\textcolor{blue}{36} &= 1 \times \textcolor{green}{20} + \textcolor{red}{16} \\\textcolor{green}{20} &= 1 \times \textcolor{red}{16} + \textcolor{brown}{4} \\\textcolor{red}{16} &= 4 \times \textcolor{brown}{4} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $36$ dan $128$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $4$.Contoh 14Tentukan FPB dari 3722 dan 926 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}3722 &= 4 \times \textcolor{blue}{926} + \textcolor{green}{18} \\\textcolor{blue}{926} &= 51 \times \textcolor{green}{18} + \textcolor{red}{8} \\\textcolor{green}{18} &= 2 \times \textcolor{red}{8} + \textcolor{brown}{2} \\\textcolor{red}{8} &= 4 \times \textcolor{brown}{2} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $3722$ dan $926$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $2$.Hubungan Antara FPB dan KPKAlgoritma Euclid digunakan untuk menghitung FPB, bukan untuk KPK. Namun, ada sebuah sifat yang menyatakan hubungan antara FPB dan KPK dari dua bilangan. Dengan ini, FPB yang diperoleh melalui Algoritma Euclid, bisa digunakan untuk menghitung 4Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, maka$$a,b \cdot [a,b]=ab$$Contoh 15Tentukan KPK dari 24 dan 36 menggunakan Sifat Contoh 11, telah ditunjukkan bahwa $24,36=12$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[24,36] &= \frac{24 \cdot 36}{24,36} \\&= \frac{24 \cdot 36}{12} \\&= 2 \cdot 36 \\&= 72\end{aligned}$$Jadi, KPK dari $24$ dan $36$ adalah $72$.Contoh 16Tentukan KPK dari 36 dan 128 menggunakan Sifat Contoh 13, telah ditunjukkan bahwa $36,128=4$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[36,128] &= \frac{36 \cdot 128}{36,128} \\&= \frac{36 \cdot 128}{4} \\&= 9 \cdot 128 \\&= 1152\end{aligned}$$Jadi, KPK dari $36$ dan $128$ adalah $1152$.FPB dan KPK dari Tiga BilanganAlgoritma Euclid digunakan untuk menghitung FPB dari dua bilangan. Namun, ada sebuah sifat yang memungkinkan penggunaan Algoritma Euclid secara berulang, untuk menghitung FPB dari tiga bilangan atau 5Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, maka$$a,b,c = a,b,c$$dan$$[a,b,c] = [[a,b],c]$$Agar lebih paham, mari membahas contoh 17Tentukan KPK dari 36, 126 dan 128 menggunakan Sifat bebas memilih dua bilangan, misalnya $36$ dan $128$. Pada Contoh 13, telah ditunjukkan bahwa $36,128=4$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$36,126,128=36,128,126=4,126$$Berikutnya, kita hitung $4,126$ menggunakan Algoritma Euclid. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}126 &= 31 \times \textcolor{blue}{4} + \textcolor{green}{2} \\\textcolor{blue}{4} &= 2 \times \textcolor{green}{2} + 0\end{aligned}$$Diperoleh, $4,126=2$. Dengan demikian, $36,126,128=2$.Contoh 18Tentukan KPK dari 60, 75 dan 150 menggunakan Sifat dua bilangan, misalnya $60$ dan $75$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}75 &= 1 \times \textcolor{blue}{60} + \textcolor{green}{15} \\\textcolor{blue}{60} &= 4 \times \textcolor{green}{15} + 0\end{aligned}$$Diperoleh $60,75=15$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[60,75] &= \frac{60 \cdot 75}{60,75} \\&= \frac{60 \cdot 75}{15} \\&= 60 \cdot 5 \\&= 300\end{aligned}$$Berdasarkan Sifat 5, diperoleh$$[60,75,150]=[[60,75],150]=[300,150]$$Perhatikan bahwa $300$ adalah kelipatan dari $150$, sehingga $[300,150]=300$. Dengan demikian, KPK dari $60$, $75$, dan $150$ adalah $300$.Demikian bahasan mengenai FPB dan KPK. Jika ada bagian yang kurang dipahami atau dianggap keliru, anda bisa menyampaikan melalui komentar. Semoga bermanfaat! Untukdua bilangan bulat positif a dan b, sebuah barisan Ulam U[a,b] dinyatakan oleh U[a,b]1 = a, U[a,b]2 = b dan untuk k > 2, U[a,b]k adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari U[a,b][k-1] yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan dua anggota berbeda sebelumnya pada U[a,b]. Diketahui f[0]=1 dan f[n] adalah banyaknya cara untuk
Operasi BinerDalam matematika, sebuah operasi biner pada himpunan adalah perhitungan yang menggabungkan 2 elemen dari himpunan disebut operan untuk menghasilkan unsur lain yang ditetapkan. Secara lebih formal, sebuah operasi biner merupakan operasi dari arity dua yang dua domain dan satu kodomain adalah set yang termasuk aritmetika dasar operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Contoh lain yang mudah ditemukan di daerah yang berbeda dari matematika, seperti penjumlahan vektor, perkalian matriks dan konjugasi dalam Operasi BinerLebih jelasnya, sebuah operasi biner pada himpunan S adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur dari hasil kali Cartesian S × S untuk SKarena hasil dari operasi pada sepasang elemen dari S adalah unsur S, operasi ini disebut operasi biner tertutup pada S atau kadang-kadang dikatakan memiliki sifat ketertutupan.Jika f bukan fungsi, tetapi merupakan fungsi parsial, hal ini disebut operasi biner parsial. Misalnya, pembagian bilangan real adalah operasi biner parsial karena tidak bisa membagi dengan nol a/0 tidak didefinisikan untuk setiap bilangan real a. Namun perlu dicatat bahwa di aljabar dan teori model kedua operasi biner tersebut dianggap didefinisikan pada semua S × terutama dalam sains komputer, istilah ini digunakan untuk setiap fungsi biner adalah dasar dari struktur aljabar yang dipelajari dalam aljabar abstrak mereka sangat penting dalam definisi grup, monoid, semigrup, gelanggang, dan banyak lagi. Paling umumnya, magma adalah satu set bersama dengan operasi biner yang didefinisikan di juga Kalkulator Biner – Apa itu dan Bagaimana Cara Menggunakannya?Yang harus diketahui pada Operasi BinerYang sering ditulis dengan menggunakan notasi infix seperti a ∗ b, a + b, a b atau oleh penjajaran dengan tidak ada simbol ab dibanding dengan notasi fungsional dengan bentuk fa, b. Pangkat biasanya juga ditulis tanpa operator, tapi dengan argumen kedua sebagai menggunakan prefix atau mungkin lebih sering notasi postfix, yang keduanya dipisahkan dengan tanda kurung. notasi itu juga disebut, masing-masing, notasi polandia dan reverse Polish dan Pasangan TerurutSebuah operasi biner, ab, tergantung pada pasangan terurut a, b sehingga abc di mana kurung di sini berarti operasi pertama dilakukan pada pasangan a, b dan kemudian operasi selanjutnya pada hasil sebelumnya menggunakan pasangan ab, c tergantung secara umum pada pasangan a, b, c. Dengan demikian, secara umum, kasus non-asosiatif, operasi biner dapat direpresentasikan dengan pohon operasi asosiatif, abc = abc, maka nilai dari abc tergantung hanya pada pasangan terurut a, b, c.Jika operasi komutatif, ab = ba, maka nilai dari abc tergantung hanya pada { {a, b}, c}, di mana tanda kurung menunjukkan operasi asosiatif dan komutatif, maka nilai dari abc tergantung hanya pada multiset {a, b, c}.Jika operasi asosiatif, komutatif dan idempotent, yaitu aa = a, maka nilai dari abc tergantung hanya pada himpunan {a, b, c}.Operasi Biner Sebagai Relasi TernerSebuah operasi biner f pada himpunan S dapat dilihat sebagai relasi terner di S, yaitu himpunan dari tiga pasangan a, b, fa,b di S × S × S untuk semua a dan b di Biner EksternalSebuah operasi biner eksternal adalah fungsi biner dari K × S ke S. Ini berbeda dari operasi biner dalam arti K tidak perlu menjadi S; unsur-unsurnya datang dari operasi biner eksternal adalah perkalian skalar dalam aljabar linear. Di sini K adalah suatu lapangan dan S adalah ruang vektor atas lapangan operasi biner eksternal dapat juga dipandang sebagai suatu aksi; K beraksi pada bahwa hasil kali titik dari dua vektor bukan operasi biner, eksternal atau sebaliknya, karena operasi tersebut memetakan S× S ke K, di mana K adalah sebuah lapangan dan S adalah ruang vektor atas dan Contoh Operasi BinerContoh yang khas dari operasi biner adalah penjumlahan + dan perkalian × dari bilangan dan matrik serta komposisi fungsi pada satu set. Misalnya,Pada himpunan bilangan real R, fa, b = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan real adalah bilangan himpunan bilangan asli N, fa, b = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan asli adalah bilangan asli. Ini adalah operasi biner yang berbeda dari yang sebelumnya karena himpunan yang himpunan M2,2, matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, fA, B = A + B adalah operasi biner karena jumlah dari dua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .Pada himpunan M2,2, matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, fA, B = AB adalah operasi biner karena produk dari kedua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .Untuk himpunan C, misalkan S adalah himpunan semua fungsi h C → C. Definisikan f S × S → S dengan fh1, h2c = h1 ∘ h2 c = h1h2c untuk semua c ∈ C, komposisi dari dua fungsi h1 dan h2 di S. Maka fadalah operasi biner karena komposisi dari dua fungsi adalah fungsi lain pada set C artinya, anggota dari S.Banyak operasi biner baik di aljabar ataupun logika formal bersifat komutatif, yaitu memenuhi fa, b = fb, a untuk semua elemen-elemen a dan b di S, atau asosiatif, yaitu memenuhi ffa, b, c = fa, fb, c untuk semua a, b dan c di S. Banyak juga yang memiliki elemen identitas dan elemen contoh pertama di atas adalah komutatif dan semua contoh di atas adalah himpunan bilangan real R, pengurangan, yaitu, fa, b = a − b, adalah operasi biner yang tidak komutatif karena, secara umum, a − b ≠ b − a. operasi tersebut juga tidak asosiatif, karena, secara umum, a − b − c ≠ a − b − c; misalnya, 1 − 2 − 3 = 2 tapi 1 − 2 − 3 = − himpunan bilangan asli N, operasi biner eksponensial, fa,b = ab, tidak komutatif karena, secara umum, ab ≠ ba dan juga tidak asosiatif karena ffa, b, c ≠ fa, fb, c. Misalnya, dengan memilih a = 2, b = 3 dan c= 2, f23,2 = f8,2 = 64, tetapi f2,32 = f2,9 = 512. Dengan mengganti himpunan N menjadi himpunan bilangan bulat Z, operasi biner ini menjadi operasi biner parsial karena sekarang operasi tersebut tidak terdefinisi apabila a = 0 dan b adalah sembarang bilangan bulat negatif. Pada himpunan N dan Z, operasi ini memiliki identitas kanan yaitu 1 karena fa, 1 = a untuk semua a dalam dalam himpunan tersebut, tapi 1 bukan merupakan identitas identitas kiri dan kanan karena f1, b ≠ b pada /, sebuah operasi biner parsial pada himpunan bilangan real atau bilangan rasional, tidak komutatif atau asosiatif. Tetration ↑↑, sebagai operasi biner pada bilangan asli tidak komutatif atau asosiatif dan tidak memiliki elemen Soal dan Jawaban Operasi Biner1. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = x – y bila x ¹ y dan x * x = x untuksetiap x,y Î Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan x = 2 dan y = 3, x * y = 2 * 3 = 1 x * x = 2 * 2 = 2 x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+Komutatifx, y Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3 x * y = 2 * 3 = 2 – 3 = 1 y * x = 3 * 2 = 3 – 2 = 1 x * y = y * x komutatifAssosiatifx, y, z Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4 x * y * z = 2 * 3 * 4 = 2 – 3 * 4 = 1 – 4 = 3 x * y * z = 2 * 3 * 4 = 2 * 3 – 4 = 2 – 1 = 1 x * y * z ¹ x * y * z tidak Didefinisikan operasi * pada Z dengan syarat untuk setiap a,b € Z , a*b=a/b. Apakah operasi * merupakan operasi biner pada Z ?JawabDiperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a*b=1*2=1/2 bukan anggota Z. Jadi,operasi * tidak memenuhi kondisi juga bahwa jika a =1 dan b = 0 akan berakibat a*b = 1*0 = 1/0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi * tidak memenuhi kondisi terdefinisi dengan operasi * bukan merupakan operasi biner pada Z .3. Jika A, B Î R didefinisikan A = { x 1 £ x £ 4} = { 1, 2, 3, 4} dan B = { x 2 £ x £ 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B ¹ B x A !PenyelesaianRelasi terhadap A x B = {1,2, 1,3, 2,2, 2,3, 3,2, 3,3, 4,2, 4,3}Relasi terhadap B x A = {2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 3,1, 3,2, 3,3, 3,4}4. Pada Z+ didefenisikan * dengan a*b = a+b , a,b € Z+. apakah Z+ tertutup ?JawabMisal a = 2 dan b = 4 , a,b € Z+ . a * b = a + b = 2 + 4 = 6 Jadi, tertutup karena hasilnya berada pada Z+a Apakah opersi biner pada a * b = c, dimana c adalah bilangan bulat yang lebih besar dari a dan b tidak terdefenisi dengan baik?.Jawabmisal 2 * 3 tidak jelas hasilnya karena hasilnya bisa 4 atau 6. Jadi operasi * tidak terdefinisi dengan Diketahui z adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan opersi * dimana a*b = a + b, a,b € operasi * terdefinisi dengan baik ?Jawaba*b = a + b, a,b € Z misal 2 * 3 = 5Dapat diperhatikan bahwan sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti opersi * terdefinisi dengan Misalkan S adalah himpunan bilangan Riil kecuali 1. Operasi * didefinisikan pada S dengan a*b = a + b – ab, S ∈ R dan 1 ∉ Buktikan ketertutupan operasi *JawabDengan metode kontradiksi, asumsikan a*b tidak tertutup sehinggaa*b = 1 a*b = a + b -ab = 1 ⇒ a + b = 1 + ab ⇒ a + b -aba = 1a ⇒ a² + b² -a² b = a ⇒ a² + ab – a²b – a = 0 ⇒ a² – a²b + ab – a = 0 ⇒ a²1 – b -a1 – b = 0 ⇒ a² – a + 1 – b = 0 sehingga a = 1 dan b = 1 karena 1 ∉ S timbul kontradiksi, jadi terbukti bahwa S tertutup di bawah opersasi *b Tunjukkan bahwa adalah sebuah terbukti di Assosiatif a*b*c = a*b*cLHS a*b*c = a + b – ab + c – a + b -abc ⇒ a + b + c -ab – ab – ac -abc RHS a*b*c = a*b + c – bc = a + b + c – bc – ab + c – bc ⇒ a + b + c – ab – ac – bc + abc sehingga LHS = RHS , terbukti assosiatif3 Memiliki elemen identitas, e*a = a*e = a ⇒ e + a – ea = ae – ea = 0 ⇒ e 1 – a = 0 ⇒ e = 0 atau a = 1, karena 1 ∉ S sehingga e = 0 elemen identitas e = 04 Memiliki invers. a*a’ = b*b’ = e ⇒ a*a’ = b*b’ = 0a + a’ – aa’ = 0 ⇒ a'1 – a = -a ⇒ a’ = – a ⁄ 1 – a ⇒ a’ = a / a – 1 b + b’ -bb’ = 0 ⇒ b'1 – b = -b⇒ b’ = -b / 1 – b ⇒ b’ = b / b – 1 c Tentukan nilai x bila 3*x*2 = 7 di dalam S 3 + x – 3x*2 = 7 ⇒ 3 + x -3x + 2 – 3 + x – 3x2 = 7 5 – 2x – 6 – 2x + 6x = 7 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4 4 ∈ S .6. Tentukan apakah operasi biner berikut terdefinisi, terdefinisi dengan baik dan tertutup? a. Pada {1,2,3,4,5,6} didefinisikan * dengan x * y = x y +2 b. Pada Z+ didefinisikan * dengan x * y adalah bilangan di Z+ yang lebih kecil dari x dan y c. Pada bilangan genap didefinisikan * dengan x * y = x + y d. Pada Q didefinisikan * dengan x * y = x/ yJawabana. Di sini * tidak tertutup karena 3 * 4 = 14, 14 tidak ada pada himpunan Sb. Definisi * pada operasi ini tidak terdefinisi dengan baik sebab 4 * 10 hasilnya bisa 1 atau bisa 2 dan bisa 3. Jadi di sini hasilnya tidak jelas dan lebih dari satuc. Disini * terdefinisi tertutup karena 2 * 4 = 6. 6 termasuk bilangan genapd. Disini * tidak terdefinisi ,karena bilangan rasional 2 * 0 tidak Lengkapi table operasi biner * di bawah ini untuk mendefinisikan operasi biner yang bersifat komutatif dan asosiatif pada S = {a,b,c}*AbcaAcbBcacCJawabS = {a,b,c}*AbcaAbcbBcacCabBukti table di atas komutatif dan asosiatifa Komutatif a*b = b*a b = bb Asosiatif a*b*c = a*b*c a*a = b*c a = Tentukan apakah operasi biner berikut terdefinisi, terdefinisi dengan baik dan tertutup? a. Pada {1,2,3,4,5,6} didefinisikan dengan x y = x y +2 b. Pada Z+ didefinisikan dengan x y adalah bilangan di Z+ yang lebih kecil dari x dan y. c. Pada bilangan genap didefinisikan dengan x y = x + y d. Pada Q didefinisikan dengan x y = x/ yJawaban a. Di sini tidak tertutup karena 3 4 = 14, 14 tidak ada pada himpunan S b. Definisi pada operasi ini tidak terdefinisi dengan baik sebab 4 10 hasilnya bisa 1 atau bisa 2 dan bisa 3. Jadi di sini hasilnya tidak jelas dan lebih dari satu c. Disini terdefinisi tertutup karena 2 4 = 6. 6 termasuk bilangan genap d. Disini tidak terdefinisi ,karena bilangan rasional 20 tidak Tentukan definisi ¤ pada suatu himpunan yang merupakan operasi biner. Jika ¤ bukan operasi biner,jelaskan kondisi yang tidak dipenuhinya. a. Pada Z+ , didefinisikan x ¤ y = x/y b. Pada Z+ , didefinisikan x ¤ y = Jawaban a. x/y merupakan operasi biner pada Z+ b. bukan merupakan operasi biner pada Z+ , karena 1¤2= dan tidak ada di Z+10. Misalkan suatu himpunan yang tidak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefenisikan x * y = x – y bila x ≠ y dan x * x = x untuk setiap x,y € Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan x = 2 dan y = 3, x * y = 2 * 3 = 1 x * x = 2 * 2 = 2 x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+Komutatifx, y € Z+, misalkan x = 2 dan y = 3 x * y = 2 * 3 = 2 – 3 = 1 y * x = 3 * 2 = 3 – 2 = 1 x * y = y * x komutatifAssosiatifx, y, z € Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4 x * y * z = 2 * 3 * 4 = 2 – 3 * 4 = 1 – 4 = 3 x * y * z = 2 * 3 * 4 = 2 * 3 – 4 = 2 – 1 = 1 x * y * z ¹ x * y * z tidak Diketahui Himpunan A adalah himpunan bilangan asli. A = { 1, 2, 3, 4, 5, ….} dan a * b = a + b. Ditanya Apakah himpunan A memiliki identitas?JawabanMisal, a = 4a * ℮ = a ℮ * a = a4 + ℮ = 4 ℮ + 4 = 4 ℮ = 0 ℮ = 012. Jika diketahui Himpunan A adalah bilangan ganjil. A = { 1, 3, 5, 7, ….} dan a * b = a + b + 3. Ditanya Apakah himpunan A memiliki identitas?JawabanMisal, a = 7 a * ℮ = a ℮ * a = aa + ℮ + 3 = a ℮ + a + 3 = 77 + ℮ + 3 = 7 ℮ + 7 + 3 = 7 ℮ = -3 ℮ = -313. S={1,2,3,4,5,6} Apabila dilihat dari operasi penjumlahan dan pengurangan bukan merupakan operasi biner pada S,A. Penjumlahan operasi biner,pengurangan bukan operasi biner. B. Penjumlahan bukan operasi biner,pengurangan bukan operasi biner. C. Penjumlahan operasi biner,pengurangan operasi biner. D. Penjumlahan operasi bukan biner,pengurangan operasi BPembahasanJika dilihat dari operasi penjumlahan, 1 + 2 = 3, 3 merupakan elemen dari S 2 + 2 = 4, 4 merupakan elemen dari S 5 + 2 = 7, 7 bukan merupakan elemen dari SJadi operasi penjumlahan bukan merupakan operasi binerJika dilihat dari operasi pengurangan, 4 – 2 = 2, 2 merupakan elemen dari S 2 – 2 = 0, 0 bukan merupakan elemen dari S 5 – 2 = 3, 3 merupakan elemen dari SJadi operasi pengurangan bukan merupakan operai binerMaka dari itu, penjumlahan bukan operasi biner,pengurangan bukan operasi Pada Z+ didefenisikan * dengan a*b = a+b , a,b € Z+. apakah Z+ tertutup?A. Tertutup. B. Tidak Tertutup. C. Tidak Terdefinisi. D. Terdefinisi dengan AMisal a = 2 dan b = 4 , a,b € Z+ .a * b = a + b = 2 + 4 = 6Jadi, tertutup karena hasilnya berada pada Z+ Diketahuidua bilangan bulat A = 6584678656 dan B = 6473263749, Jika diketahui bilangan bulat a dan b, cara untuk membandingkan bilangan tersebut adalah dengan melihat: a. Banyaknya angka penyusun masing-masing bilangan. b. Jika angka penyusunnya sama, maka dilihat angka dengan nilai tempat yang sama dan terbesar. 2. RMRana M14 Maret 2020 1032PertanyaanDiketahui a dan b adalah dua bilangan bulat positif, serta b merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada 2017. Jika 1/a + 4/b = 1/12 , maka pasangan bilangan a,b yang mungkin ada sebanyak.... A. 2 B. 3 C. 5 D. 8981Jawaban terverifikasiPVMahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang06 Februari 2022 2105Halo Rana. Kakak bantu jawab ya. Jawab B. 3 Pembahasannya bisa kakak pelajari pada gambar berikut ya. Yah, akses pembahasan gratismu habisDapatkan akses pembahasan sepuasnya tanpa batas dan bebas iklan!Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?Tanya ke ForumBiar Robosquad lain yang jawab soal kamuRoboguru PlusDapatkan pembahasan soal ga pake lama, langsung dari Tutor!Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS! Demikianpembahasan kunci jawaban pelajaran Matematika Kelas 7 (VII) halaman 10 Ayo Kita Berlatih 1.1 tentang Diketahui bilangan A dan B adalah bilangan bulat positif bilangan A dan B sama-sama tersusun dari 4 angka pada buku paket kurikulum 2013 revisi 2017. Semoga bermanfaat dan berguna bagi kalian. Kerjakan juga pembahasan soal lainnya. Kelas 10 SMASistem Persamaan LinearSistem Persamaan Linear Dua VariabelDiketahui a dan b dua bilangan bulat positif yang memenuhi 1/a+1/b=13/16. Nilai aba+b adalah....Sistem Persamaan Linear Dua VariabelSistem Persamaan LinearALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0120Diketahui sistem persamaan {y=4x-11 2x+y=1. Nilai y yang ...0116Dari sistem persamaan y = 2x+ 1 =x^2+3x-1 Y dapat dipero...0157Jika x dan y merupakan penyelesaian dari sistem persamaan...Teks videoHalo Ko Friends pada soal ini terdapat dua bilangan bulat positif yaitu a dan b sehingga A dan B ini bisa kita tulis menjadi a koma B lebih besar dari 02 bilangan ini memenuhi hubungan berikut yang kita akan menentukan nilai dari a b * a + b Oke kita mulai dengan hubungan yang diketahui di soal yaitu 1 per a + 1 per B = 13 per 36 kita samakan penyebutnya terlebih dahulu sehingga penyebutnya menjadi ab ab dibagi a. Hasilnya b. B dikali 1. Hasilnya tetap b. Kita tulis B di pembilang andainya tetap plus lalu AB dibagi B hasilnya a dikali 1 hasilnya a kita tulis juga a pembilangSama dengan 13 per 36 berdasarkan sifat komutatif kita bisa menukar b + a menjadi A + B A B = 13 per 36 sekarang kita lihat pembilang a + b bernilai 13 dan penyebutnya a b bernilai 36 maka AB dikali a + b = 36 * 13 hasilnya 468 jadi jawaban yang tepat untuk saat ini adalah a. 468 Oke cover sampai jumpa lagi di soal selanjutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul

Perkaliandua bilangan bulat positif akan menghasilkan bilangan bulat positif. Sementara, perkalian dua bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat positif. Kemudian, jika mengalikan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, hasilnya adalah bilangan bulat negatif. Contoh: 3 x 3 = 9 2 x (-4) = -8 (-5) x 1 = -5 (-5) x (-2) = 10. 4.

Persamaan pada soal dioperasikan. Perhatikan bagian penyebut dan pembilang dari bentuk persamaan di atas! Seharusnya terdapat bilangan k sehingga bisa dinyatakan bahwa dan . Misalkan kita ambil k = 2, kemudian kita buktikan 3 pernyataan pertama. Pernyataan 1 salah karena jika k = 2, maka . Pernyataan 2 salah karena jika k = 2, maka . Pernyataan 3 salah karena jika k = 2, maka Dari persamaan diperoleh . Sehingga pernyataan 4 bernilai benar. Dengan demikian, pernyataan yang benar hanya pernyataan 4 saja. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. Untuk mempelajarinya lebih jelas, tonton video selanjutnya. Jawabanpaling sesuai dengan pertanyaan Diketahui dua bilangan bulat. Selisih tiga kali bilangan pertama dan dua kali bilangan ked

Diketahui dua buah bilangan, yaitu a dan b. Bilangan a dan b tersebut merupakan bilangan bulat dan meme- nuhi persamaan frac square root of 5- square root of 6 square root of 5+ square root of 6=a+b square root of 30 Hasil kali dari dua bilangan tersebut adalah .... HOTS b. -11 e. 13 8 YES! We solved the question!Check the full answer on App GauthmathGauth Tutor SolutionCivil engineerTutor for 4 yearsAnswerExplanationFeedback from studentsDetailed steps 95 Excellent Handwriting 91 Help me a lot 89 Correct answer 80 Write neatly 75 Easy to understand 53 Clear explanation 20 Does the answer help you? Rate for it!Gauthmath helper for ChromeCrop a question and search for answer. Its faster!Still have questions? Ask a live tutor for help live Q&A or pic step-by-step access to all gallery Tutor Now

jikakita melihat soal seperti ini maka bisa kita gunakan bentuk a + b kuadrat = a kuadrat + 2 ab, + b kuadrat di sini kita punya aquadrat + b kuadrat = 40 untuk menjadi bentuk seperti diatas bisa kita tambahkan kedua luasnya dengan 2 ab kita bisa tulis a kuadrat + b kuadrat + 2 ab = 42 AB nah, terus kiri bisa jadi = a + b kuadrat = 40 + 2 ab dan jadi kita tahu nilai a + b yaitu 6 maka 6 kuadrat = 40 + 2 ab 6 kuadrat yaitu 36 =40 + 2 ab kemudian dipindah ruas jadi 2 ab = 36 dikurang 42 a b

Soal Bagikan. Diketahui a a dan b b dua bilangan bulat positif yang memenuhi \frac {1} {a}+\frac {1} {b}=\frac {13} {36} a1 + b1 = 3613. Nilai a b (a+b) ab(a+b) adalah

SubTema : Operasi hitung bilangan bulat dengan memnafaatkan berbagai sifat operasi Pembelajaran ke : 5 Alokasi waktu : 1 x 10 menit Menggali pengetahuan dasar tentang bilangan bulat yang diketahui 2. Memberikan apresiasi kepada anak yang telah membawa alat peraga untuk pembelajaran bilangan bulat 3. Motivasi

.
  • gnhmpa5m49.pages.dev/123
  • gnhmpa5m49.pages.dev/967
  • gnhmpa5m49.pages.dev/969
  • gnhmpa5m49.pages.dev/853
  • gnhmpa5m49.pages.dev/782
  • gnhmpa5m49.pages.dev/232
  • gnhmpa5m49.pages.dev/138
  • gnhmpa5m49.pages.dev/641
  • gnhmpa5m49.pages.dev/81
  • gnhmpa5m49.pages.dev/90
  • gnhmpa5m49.pages.dev/928
  • gnhmpa5m49.pages.dev/627
  • gnhmpa5m49.pages.dev/928
  • gnhmpa5m49.pages.dev/263
  • gnhmpa5m49.pages.dev/789

    • diketahui dua bilangan bulat a dan b